Qu’est-ce qu’une pyramide tronquée ?
Une pyramide tronquée est une pyramide dont le sommet a été coupé par un plan parallèle à sa base. Ce solide a deux bases, une plus grande et une plus petite, qui peuvent être de formes différentes telles que carrées ou rectangulaires. La hauteur de la pyramide tronquée est la distance entre les deux bases.
Formules de calcul du volume
Pour déterminer le volume d’une pyramide tronquée, plusieurs formules peuvent être utilisées en fonction de la forme des bases.
Volume avec deux bases carrées
Lorsque les deux bases sont carrées, par exemple, si le côté de la grande base est de 10 cm et celui de la petite base est de 5 cm, le calcul de l’aire des bases s’effectue de la manière suivante :
- Aire de la grande base : (B_1 = 10 , cm times 10 , cm = 100 , cm²)
- Aire de la petite base : (B_2 = 5 , cm times 5 , cm = 25 , cm²)
La formule pour le volume d’une pyramide tronquée à bases carrées est :
V = dfrac{h times (B_1 + B_2 + sqrt{B_1 times B_2})}{3}, où h est la hauteur de la pyramide.
Volume avec des bases de formes différentes
Pour des bases rectangulaires ou de formes différentes, la méthode de calcul est similaire, mais les aires doivent être déterminées selon leur forme respectives. Pour une base rectangulaire, on utilise :
B = longueur times largeur. Dans notre exemple, si la grande base est un rectangle de 10 cm sur 8 cm et la petite base de 5 cm sur 4 cm, on aurait :
- Aire de la grande base : (B_1 = 10 , cm times 8 , cm = 80 , cm²)
- Aire de la petite base : (B_2 = 5 , cm times 4 , cm = 20 , cm²)
Le volume peut alors être calculé avec la même formule :
V = dfrac{h times (B_1 + B_2 + sqrt{B_1 times B_2})}{3}.
Exemple de Calcul
Supposons que la hauteur de notre pyramide tronquée est de 12 cm. Nous avons les aires des bases comme suit :
- Aire de la grande base (B1) : 100 cm²
- Aire de la petite base (B2) : 25 cm²
Le volume sera calculé ainsi :
V = dfrac{12 times (100 + 25 + sqrt{100 times 25})}{3}
Calculons-le pas à pas :
- Somme des bases : 100 + 25 = 125
- Produit des bases : 100 x 25 = 2500, donc √(2500) = 50
- Calcul final : V = dfrac{12 times (125 + 50)}{3} = dfrac{12 times 175}{3} = 700 , cm³
Volume d’une pyramide tronquée irrégulière
Si les bases sont de dimensions irrégulières, la formule reste générale :
V = dfrac{h times (B + b + sqrt{Bb})}{3}, où B et b représentent les aires des bases, et h est la hauteur. Cette formule est applicable tant que les bases sont de formes différentes.
Ressources supplémentaires
Pour en savoir plus sur le volume des solides tronqués, consultez Alloprof. D’autres explications sur diverses formes géométriques et leurs volumes peuvent être trouvées sur Questions-Réponses.
Enfin, vous pouvez consulter les mathématiques avancées concernant les pyramides tronquées sur Les Mathématiques.
FAQ : Calculer le volume d’une pyramide tronquée
Q : Qu’est-ce qu’une pyramide tronquée ? Une pyramide tronquée est une pyramide dont le sommet a été retiré, laissant deux bases de formes semblables mais de tailles différentes.
Q : Quelles sont les formules pour calculer le volume d’une pyramide tronquée ? Le volume peut être calculé avec la formule suivante : V = H × (B + b + √(Bb)) / 3, où H est la hauteur et B et b sont les aires des deux bases.
Q : Comment déterminer l’aire des bases d’une pyramide tronquée à base carrée ? Pour une base carrée, l’aire se calcule en multipliant la longueur d’un côté par elle-même : aire = côté × côté.
Q : Est-il possible de calculer le volume si les bases sont de formes différentes ? Oui, la formule est toujours applicable, mais il faut calculer l’aire de chaque base en fonction de leur forme (rectangulaire, triangulaire, etc.) avant d’appliquer la formule globale.
Q : Quelle est la signification de la “moyenne héronienne” dans le calcul du volume ? La moyenne héronienne est une méthode qui permet de combiner les aires des deux bases dans le calcul, assurant ainsi une conversion correcte lors de l’évaluation du volume.
Q : Quels éléments sont nécessaires pour calculer le volume d’une pyramide tronquée ? Il faut connaître la hauteur de la pyramide tronquée ainsi que les aires des deux bases.
Q : Que faire si je ne connais pas les aires des bases ? Si les aires ne sont pas connues, il est nécessaire de les calculer d’abord en fonction des dimensions disponibles (longueurs, largeurs, etc.) avant de procéder au calcul du volume.
