Qu’est-ce qu’une équation quadratique?
Une équation quadratique est une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des coefficients réels et a ≠ 0. L’objectif est de déterminer les valeurs de x qui rendent cette équation vraie. Les solutions de cette équation peuvent être trouvées en utilisant différentes méthodes telles que la factorisation, l’utilisation de la formule quadratique ou encore le complément de carré.
Les différents cas de solutions
Pour résoudre une équation quadratique, il est essentiel de calculer le discriminant Δ, donné par la formule Δ = b² – 4ac. Selon la valeur de Δ, nous pouvons déterminer le nombre de solutions :
- Si Δ aucune solution réelle.
- Si Δ = 0 : L’équation a une racine double, ce qui signifie qu’elle touche l’axe des x en un seul point.
- Si Δ > 0 : L’équation a deux solutions distinctes, correspondant à deux points d’intersection avec l’axe des x.
La méthode de la factorisation
Qu’est-ce que la factorisation?
La factorisation consiste à écrire l’équation quadratique sous forme de produit de deux binômes. Pour une équation de la forme ax² + bx + c, il s’agit de trouver deux nombres dont le produit est égal à ac et dont la somme est égale à b.
Exemple de factorisation
Prenons l’équation x² + 5x + 6 = 0. Nous cherchons deux nombres qui, multipliés, donnent 6 (c) et ajoutés, donnent 5 (b). Ces nombres sont 2 et 3. On peut alors factoriser l’équation : (x + 2)(x + 3) = 0. En établissant chaque binôme égal à zéro, nous obtenons les solutions x = -2 et x = -3.
Pour explorer cette méthode plus en profondeur, vous pouvez consulter ce lien.
La formule quadratique
Utiliser la formule pour résoudre une équation
Si la factorisation est difficile, on peut utiliser la formule quadratique : x = (-b ± √Δ) / (2a). Cette méthode est applicable à toutes les équations quadratiques. En remplaçant a, b et c par leurs valeurs respectives et en calculant Δ, on peut facilement déterminer les solutions.
Exemple avec la formule quadratique
Considérons l’équation 2x² + 4x – 6 = 0. Ici, a = 2, b = 4 et c = -6. Calculons d’abord le discriminant : Δ = 4² – 4 * 2 * (-6) = 16 + 48 = 64. Puis, utilisons la formule quadratique :
x = (-4 ± √64) / (2 * 2) = (-4 ± 8) / 4. Cela nous donne les solutions x = 1 et x = -3.
Pour plus de détails, visitez cette ressource.
Résoudre une équation avec un discriminant négatif
Lorsqu’une équation a un discriminant négatif (Δ solutions complexes. Par exemple, si on prend l’équation x² + 4 = 0, le discriminant est -16, ce qui donne des solutions sous forme complexe : x = ±2i.
Pour en savoir plus sur comment résoudre des équations avec un discriminant négatif, consultez ce lien.
Utilisation du complément de carré
Une autre méthode consiste à utiliser la méthode du complément de carré. Cela consiste à réécrire l’équation sous la forme (x – p)² = q. Par exemple, pour x² – 6x + 8 = 0, nous pouvons compléter le carré : (x – 3)² = 1, ce qui donne x – 3 = ±1 et donc x = 4 ou x = 2.
Pour en savoir plus sur cette méthode, vous pouvez lire ce guide.
Résoudre des équations quadratiques avec des valeurs absolues
Il est également possible de résoudre des équations quadratiques qui impliquent des valeurs absolues. Dans ce cas, il est essentiel de considérer les deux cas, positif et négatif, pour obtenir toutes les solutions possibles. Pour cela, je vous invite à consulter cet article.
Les équations paramétrées et à deux inconnues
Les équations du second degré peuvent également être paramétrées ou comporter deux inconnues. Ces cas nécessitent des approches spécifiques et un travail sur les coefficients pour déterminer les solutions. Pour des informations sur le sujet, visitez ce lien.
FAQ sur la résolution des équations quadratiques avec une racine double
Q : Qu’est-ce qu’une équation quadratique avec une racine double ? Une équation quadratique a une racine double lorsque son discriminant est égal à zéro, ce qui signifie que la parabole tangente l’axe des x en un seul point.
Q : Comment déterminer si une équation possède une racine double ? Pour vérifier si une équation a une racine double, on calcule le discriminant (Δ) en utilisant la formule Δ = b² – 4ac. Si Δ = 0, il y a une racine double.
Q : Quelle est la forme générale d’une équation quadratique ? L’équation quadratique prend la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des coefficients.
Q : Comment résoudre une équation quadratique ayant une racine double ? Pour résoudre cette équation, on utilise la formule S = -b / (2a), ce qui donne la valeur de la racine double.
Q : Quelles sont les étapes pour vérifier le résultat trouvé ? On remplace la valeur trouvée par S dans l’équation d’origine pour s’assurer qu’elle vérifie bien l’égalité.
Q : Peut-on avoir des équations quadratiques avec deux racines doubles ? Non, une équation quadratique ne peut avoir qu’une unique racine double si son discriminant est zéro. Si le discriminant est positif, il y aura deux racines différentes.
Q : Quelles sont les implications graphiques d’une racine double ? Graphiquement, cela signifie que la parabole marquera une tangente avec l’axe des x, touchant ce dernier en un unique point.
Q : Est-ce que toutes les équations quadratiques peuvent avoir une racine double ? Non, seules les équations où le discriminant est égal à zéro peuvent avoir une racine double. Si Δ
