Qu’est-ce qu’une inéquation rationnelle ?
Une inéquation rationnelle est une inégalité qui fait intervenir des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Elle est souvent de la forme f(x) > 0 ou f(x) . La résolution de ce type d’inéquation permet de déterminer les valeurs de la variable qui satisfont cette condition.
Étapes pour résoudre une inéquation rationnelle
1. Transformer l’inégalité
Pour commencer, vous devez réécrire l’inéquation en isolant la fraction à gauche de l’inégalité. Par exemple, pour une inéquation de la forme (x-1)/(x+2) > 0, vous pouvez la réécrire comme suit : (x-1)/(x+2) – 0 > 0. Cela donne un seul quotient à gauche et le zéro à droite.
2. Calculer les restrictions
Les restrictions proviennent des valeurs qui rendraient le dénominateur nul. Il est essentiel de les identifier car elles ne doivent pas faire partie des solutions. Dans notre exemple, la restriction serait x + 2 ≠ 0, donc x ≠ -2.
3. Effectuer un produit croisé
Pour résoudre l’inéquation, appliquez la méthode du produit croisé. Cela signifie que vous multipliez chaque membre de l’inégalité par le dénominateur, à condition de respecter le signe de l’inégalité. Veillez donc à faire attention aux valeurs où le dénominateur pourrait changer de signe, comme dans cet exemple :
- Si (x + 2) > 0, alors l’inéquation reste la même.
- Si (x + 2) , n’oubliez pas d’inverser le signe de l’inégalité.
4. Identifier les intervalles de solutions
Après avoir effectué le produit croisé, déterminez où l’expression est positive ou négative. Cela nécessite de trouver les racines de l’équation associée, ainsi que les valeurs de restrictions que vous avez précédemment trouvées. Tracez ces valeurs sur une droite numérique pour visualiser les intervalles.
5. Déterminer le signe dans chaque intervalle
Une fois les intervalles établis, choisissez un point de test dans chacun d’eux pour déterminer le signe de l’inéquation dans cet intervalle. Cela vous permettra de savoir où l’expression est positive ou négative.
6. Formuler la solution finale
Après avoir analysé tous les intervalles, vous êtes maintenant en mesure d’écrire votre solution sous forme d’intervalle. Les solutions peuvent être écrites comme ]a, b[ lorsque l’intervalle est ouvert, ou [a, b] quand il est fermé.
Exemples pratiques
Exemple 1 : Résoudre (x-1)/(x+2) > 0
Comme mentionné, nous commençons par isoler la fraction. Les restrictions indiquent x ≠ -2. Les points critiques sont x = 1 et x = -2. En testant les intervalles, vous trouverez :
- Pour x , l’expression est positive.
- Pour -2 , l’expression est négative.
- Pour x > 1, l’expression est positive.
La solution est donc : x ∈ ]-∞, -2[ U ]1, +∞[.
Exemple 2 : Résoudre (x+3)/(x-1)
Pour cet exemple, commencez par soustraire 2 de chaque côté et réécrivez l’inéquation. Cela vous amène à :
(x+3)/(x-1) – 2 .
Ici, vous devrez également trouver les restrictions. Les valeurs critiques sont x = -3 et x = 1. Appliquez le même processus de test d’intervalles comme décrit dans l’exemple précédent.
Ressources supplémentaires
Pour approfondir vos connaissances sur les inéquations rationnelles, voici quelques ressources utiles :
- Inéquations avec des exposants combinés
- Bases asymétriques en inéquations
- Termes quadratiques dans les inéquations
- Alloprof : Résoudre une équation rationnelle
- Khan Academy : Inégalités rationnelles
FAQ sur la résolution d’une inéquation rationnelle avec des bases fractionnaires combinées
Q : Qu’est-ce qu’une inéquation rationnelle avec des bases fractionnaires combinées ?
R : Une inéquation rationnelle avec des bases fractionnaires combinées implique une expression contenant des fractions et des polynômes qui se combinent de manière complexe, nécessitant une analyse précise pour déterminer les valeurs de la variable.
Q : Quelle est la première étape pour résoudre ce type d’inéquation ?
R : La première étape consiste à réécrire l’inéquation de manière à isoler la fraction ou les fractions en question.
Q : Comment puis-je identifier les restrictions sur les variables ?
R : Pour identifier les restrictions, on doit déterminer les valeurs qui annulent les dénominateurs dans l’expression, car ces valeurs ne sont pas définies et doivent être exclues de la solution.
Q : Que faire après avoir identifié les restrictions ?
R : Une fois les restrictions identifiées, il est essentiel de effectuer un produit croisé si l’inéquation est de la forme d’une fraction comparée à zéro, pour simplifier la résolution.
Q : Est-il nécessaire de changer le sens de l’inégalité ?
R : Oui, lorsque l’on multiplie ou divise par un nombre négatif, il est crucial d’inverser le sens de l’inégalité pour maintenir la validité de l’inéquation.
Q : Comment vérifier les solutions trouvées ?
R : Après avoir résolu l’inéquation, il est conseillé de replacer les valeurs obtenues dans l’inéquation originale pour s’assurer qu’elles satisfont les conditions requises sans violer les restrictions établies.
Q : Que faire s’il y a plusieurs fractions à gérer ?
R : Dans le cas de plusieurs fractions, il peut être utile de trouver un dénominateur commun afin de simplifier l’inéquation, puis suivre les étapes standards de résolution.
Q : Quels outils peuvent m’aider dans la résolution ?
R : Des outils tels que des tableaux de signes ou des logiciels de calcul formel peuvent rendre la résolution d’inéquations rationnelles plus claire et plus systématique.
